Circunferencia

Concepto:

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Dimensión de la circunferencia:

Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.

Una circunferencia está formada por:

• Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
• Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
• Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
• Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
• Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias:

• Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
• Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
• Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
• Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
• Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
• Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Una recta puede estar respecto a una circunferencia:

• Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
• Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común.
• Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes.
  

Ángulos de la circunferencia:

• Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
• Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
• La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
• Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
• La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
• Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
• La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
• Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del círculo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
• Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de sus arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de los mismos.
• Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
• La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.

Para algunos datos interesantes, pincha sobre el dibujo:




Perímetro de una circunsferencia:

Corresponde a la longitud que tiene una circunferencia. En esta medida interviene un decimal infinito conocido como (pi) y que equivale a 3,14.... El perímetro de una circunferencia corresponde al producto del doble del radio por , por lo que su fórmula es:

y r = radio de la circunferencia

Veamos un ejemplo. Si una circunferencia tiene 4 cm. de radio, su perímetro es:

Para que te quede mas claro, revisa el siguiente link y atrevete a realizar los ejercicios, ¡animate!.
pincha sobre la imagen:




Area de la circunsferencia:

Área de un círculo

No olvidemos que circunferencia es la línea curva cerrada en la que cada punto equidista de otro llamado centro. En cambio círculo es la región interior de la circunferencia. Es al círculo al que se le calcula el área.

También debemos utilizar la magnitud, siendo su fórmula:

Y r = radio de la circunferencia.

Si queremos saber el área del círculo aplicamos la fórmula, siguendo el ejemplo anterior:

Para saber y entender mejor, revisa este exelente video, solo pincha en la imagen de abajo:









Transformaciones isométricas:

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

Traslación:

La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, determinada por un vector.

Simetría:

Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.

Simetría central

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.

Simetría axial

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA

Composición de simetrías

Si se aplica la misma simetría dos veces, se obtiene una identidad.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes paralelos, se obtiene una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre dichos ejes.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes que se cortan en O, se obtiene giro con centro en O, cuyo ángulo es el doble del que forman dichos ejes.

Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

Un punto denominado centro de rotación.

Un ángulo

Un sentido de rotación.

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Anexo:

Arquímedes

"dame un punto de apoyo y movere el mundo"

Matemático y físico griego, conocido especialmente por sus inventos. Pasó la mayor parte de su vida en Siracusa (Sicilia).

Descubrió que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circunscrito y que la superficie de la esfera es cuatro veces mayor que su círculo máximo.

Determinó que el valor de "" está comprendido entre 22/7 y 221/71. El primero de estos valores fue utilizado durante gran parte de la edad media como aproximación a "".

También ideó la espiral de Arquímedes, cuyo radio vector es proporcional al ángulo, aunque algún autor clásico atribuye su descubrimiento a Conón de Samos.

En Física descubrió el principio hidrostático que lleva su nombre, después generalizado a todos los fluidos, que se enuncia así:

Todo cuerpo sumergido en un líquido pierde una parte de su peso, o sufre un empuje de abajo arriba, igual al del volumen de agua que desaloja. Si el peso del objeto es menor que el del agua que ocupa el mismo volumen, el cuerpo flota. Si es igual, permanece en equilibrio hundido en el líquido, y si es mayor se hunde.

Se cuenta que dio con este principio cuando el rey de Siracusa le ordenó descubrir si una corona que había encargado estaba realmente hecha de oro macizo, sin romperla ni destruirla. Preocupado por el problema, Arquímedes se sumergió con ella en el baño, y cuando notó que el agua de la bañera rebordaba, se le ocurrió la idea y corrió desnudo por las calles de Siracusa, mientras gritaba: Eureka (lo encontré).