Circunferencia

Concepto:

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Dimensión de la circunferencia:

Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.

Una circunferencia está formada por:

• Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
• Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
• Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
• Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
• Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias:

• Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
• Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
• Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
• Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
• Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
• Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Una recta puede estar respecto a una circunferencia:

• Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
• Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común.
• Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes.
  

Ángulos de la circunferencia:

• Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
• Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
• La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
• Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
• La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
• Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
• La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
• Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del círculo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
• Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de sus arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de los mismos.
• Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
• La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.

Para algunos datos interesantes, pincha sobre el dibujo:




Perímetro de una circunsferencia:

Corresponde a la longitud que tiene una circunferencia. En esta medida interviene un decimal infinito conocido como (pi) y que equivale a 3,14.... El perímetro de una circunferencia corresponde al producto del doble del radio por , por lo que su fórmula es:

y r = radio de la circunferencia

Veamos un ejemplo. Si una circunferencia tiene 4 cm. de radio, su perímetro es:

Para que te quede mas claro, revisa el siguiente link y atrevete a realizar los ejercicios, ¡animate!.
pincha sobre la imagen:




Area de la circunsferencia:

Área de un círculo

No olvidemos que circunferencia es la línea curva cerrada en la que cada punto equidista de otro llamado centro. En cambio círculo es la región interior de la circunferencia. Es al círculo al que se le calcula el área.

También debemos utilizar la magnitud, siendo su fórmula:

Y r = radio de la circunferencia.

Si queremos saber el área del círculo aplicamos la fórmula, siguendo el ejemplo anterior:

Para saber y entender mejor, revisa este exelente video, solo pincha en la imagen de abajo:









Transformaciones isométricas:

Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

Traslación:

La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, determinada por un vector.

Simetría:

Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.

Simetría central

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.

Simetría axial

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA

Composición de simetrías

Si se aplica la misma simetría dos veces, se obtiene una identidad.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes paralelos, se obtiene una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre dichos ejes.

Si se aplican dos simetrías respecto de ejes que se cortan en O, se obtiene giro con centro en O, cuyo ángulo es el doble del que forman dichos ejes.

Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

Un punto denominado centro de rotación.

Un ángulo

Un sentido de rotación.

Averigua mas pulsando aqui

Anexo:

Arquímedes

"dame un punto de apoyo y movere el mundo"

Matemático y físico griego, conocido especialmente por sus inventos. Pasó la mayor parte de su vida en Siracusa (Sicilia).

Descubrió que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circunscrito y que la superficie de la esfera es cuatro veces mayor que su círculo máximo.

Determinó que el valor de "" está comprendido entre 22/7 y 221/71. El primero de estos valores fue utilizado durante gran parte de la edad media como aproximación a "".

También ideó la espiral de Arquímedes, cuyo radio vector es proporcional al ángulo, aunque algún autor clásico atribuye su descubrimiento a Conón de Samos.

En Física descubrió el principio hidrostático que lleva su nombre, después generalizado a todos los fluidos, que se enuncia así:

Todo cuerpo sumergido en un líquido pierde una parte de su peso, o sufre un empuje de abajo arriba, igual al del volumen de agua que desaloja. Si el peso del objeto es menor que el del agua que ocupa el mismo volumen, el cuerpo flota. Si es igual, permanece en equilibrio hundido en el líquido, y si es mayor se hunde.

Se cuenta que dio con este principio cuando el rey de Siracusa le ordenó descubrir si una corona que había encargado estaba realmente hecha de oro macizo, sin romperla ni destruirla. Preocupado por el problema, Arquímedes se sumergió con ella en el baño, y cuando notó que el agua de la bañera rebordaba, se le ocurrió la idea y corrió desnudo por las calles de Siracusa, mientras gritaba: Eureka (lo encontré).

Poligono, Área y Perímetro

Polígono

¿Qué es un polígono?

Los polígonos son figuras geométricas cerradas, formadas por varios segmentos de líneas, a las que llamamos lados.

¿Cómo reconocemos un polígono?

Si dibujamos dos líneas que se cruzan entre ellas, no tendremos un polígono, porque no podremos cerrar esa figura. Entonces, para que podamos decir que una determinada figura es un polígono, deberá tener tres o más lados.

Elementos de un polígono

En un polígono podemos distinguir:

• Lado: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
• Vértice: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Diagonal: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro: es la suma de todos sus lados.
• Ángulo interior y ángulo exterior.

Clarificación de polígonos

Según el número de lados:

Triángulo: tiene 3 lados

Cuadriláteros: Tienen 4 lados.

Pentágonos: Tienen 5 lados.

Hexágonos: Tienen 6 lados.

Heptágonos: Tienen 7 lados.

Octágonos: Tienen 8 lados.

Eneágono: Tiene 9 lados.

Decágono: Tiene 10 lados.

Endecágono: Tiene 11 lados.

Dodecágono: Tiene 12 lados.

Tridecágono: Tienen 13 lados.

Tetradecágono: Tiene 14 lados.

Pentadecágono: Tiene 15 lados.

Según su contorno:

Convexos:

Todos sus ángulos son menores que 180°.
Todas sus diagonales son interiores.

Cóncavos:

Si un ángulo mide más de 180°.

Si una de sus diagonales es exterior.

Regular:

Si tiene sus ángulos y sus lados iguales

Irregular:

Si tiene sus ángulos y lados desiguales

Perímetro
.

Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.

realiza el siguiente taller, haz clic aqui

y para que te quede mas clarito, has clic en la fotografia

El Área

Consideraremos como una definición de área, a aquella cantidad de superficie que se encuentra encerrada dentro de una figura geométrica cerrada. El área es la que posibilita el conocimiento de la superficie interior.

Algunas Propiedades Básicas del Área de una Figura.

· El área de una figura geométrica no varía, cuando sobre la figura realizamos acciones tales como cortar y pegar. Gracias a esta propiedad del área se calculan infinidad de áreas de figuras, como por ejemplo el área del trapecio.

· Si a una figura le quitamos o añadimos una porción de área conocida, entonces el área de la figura resultante será el área de la figura inicial menos o más, el área de la porción quitada o añadida. Así, por ejemplo, conociendo el área de un triángulo y la de un rectángulo, podemos calcular el área de un trapecio.

Para saber como sacar el area de las figuras poligonales, visita le siguinete enlace en donde te mostraremos un video explicativo, solo debes pinchar aqui

Anexo:

¿Quien inventó la geometria?

Proclo, filósofo griego del siglo V d.c., en su libro "Comentario de Euclides", escribe lo siguiente:

"Muchos autores informan que los egipcios fueron los inventores de la geometría, y que nació de la necesidad de medir la tierra cuando las frecuentes crecidas del río Nilo borraban el límite entre las propiedades."

Esto sucedió 3000 años antes de nuestra era. El Nilo inundaba todos los años las tierras de sus orillas, tapando con su lino las separaciones entre las distintas parcelas. Después de la inundación, un grupo de hombres (los agrimensores) acudían a aquellas tierras y trás mediciones con cuerdas, y cálculos cuidadosos, devolvían a cada labrador su campo. Con estas labores, los egipcios inventaban la geometría. Por esta razón, la palabra geometría significa "medida de las tierras".

Está formada por dos palabras griegas: gé que significa tierra (Gea era la diosa de la tierra) y metron que significa medida.

Quizá te preguntes: entonces, si la geometría la inventaron los egipcios, ¿por qué tiene un nombre griego?

La razón es muy sencilla: los egipcios concocían ciertas técnicas para trazan un ángulo recto, para medir el área de triángulos rectángulos y trapecios, el volumen de prismas, pirámides y toneles, pero eran reglas aisladas, nacidas para resolver problemas reales muy concretos, y no constituían un saber ordenado, general y lógico, es decir, una ciencia. Fueron los griegos, a partir del siglo VI a.c. quienes se despegaron de lo utilitario y práctico, de lo concreto y aislado, para edificar un bello edificio de conocimientos generales, justificados todos por la razón, al que llamaron y llamamos GEOMETRÍA.

Cuando la física, la química, la biología y la geología aún no habían nacido, la geometría era ya una verdadera ciencia. Sólo la Astronomía, tan necesaria en la navegación, estaba suficientemente desarrollada, y eso porque, en esencia, era pura geometría.

Los griegos consideraron la geometría como una ciencia formativa, es decir, como una ciencia que acostumbra al hombre a razonar, que afina la inteligencia. Incluso decían que no había que estudiarla con fines prácticos, sino para el HONOR DE LA MENTE HUMANA. Platón, el gran filósofo discípulo de Sócrates, en su escuela (La Academia) donde se discutían los más difíciles problemas de la lógica, de la política, del arte, de la vida y de la muerte, había mandado escribir encima de la puerta:

NO ENTRE AQUÍ EL QUE NO SEPA GEOMETRÍA.

Este culto a la geometría como ciencia soberana es la clave para la comprensión del todo el universo. (Nicanor Carrera)

si quieres saber mas entra a este sitio:

Definición de la geometría

Biografía y Trabajo de un "Genio"

Albert Einstein

"No te preocupes por tus problemas con las matemáticas; te aseguro que los míos son mucho mayores".

A. Einstein, en una carta a una niña de nueve años.

Nació: 14 de Marzo de 1879 en Ulm, Alemania

Falleció: 18 de Abril de 1955 en Princeton, New Jersey, USA

Hijo de un industrial germano-judío, hubo poco en su niñez que presagiara las notables alturas que alcanzaría. Era tímido y callado, y rara vez lo aceptaban en los juegos de sus compañeros. En la escuela, no se distinguió, no le gustó el estudio de los idiomas y de la mayoría de las otras asignaturas, y le disgustaba preparar sus lecciones. Detestaba los métodos formales, regimentados, de aprendizaje de memoria y recitación, que estaban en boga en las escuelas alemanas de esa época.
Sin embargo, inclusive de niño Alberto Einstein tenía una mente inquieta, inquisitiva para los temas que le interesaban. A los cinco años de edad lo fascinó una brújula de su padre y acosaba a éste y a su tío Jake con incesantes preguntas acerca de ella. Las respuestas sobre el magnetismo y la gravitación eran conceptos que lo tenían en vela durante las noches, cuando trataba de descifrar su significado.
Sus conocimientos de matemáticas excedían con mucho a lo que sabían sus maestros en la escuela alemana. Eso sólo sirvió para aumentar sus dificultades en ella, pues le guardaban resentimiento. Por último, se le pidió que abandonara el colegio, debido a que no se apegaba a los reglamentos. Decidió ingresar a la Academia Politécnica de Zurich, Suiza. Cuando fue admitido allí, por fin encontró una atmósfera amable y la libertad para dedicarse a las matemáticas y la física. Para descansar, le gustaba tocar el violín y, ocasionalmente, asistir a la ópera.
El negocio de su padre no prosperaba, y a Alberto no le interesaba hacer una carrera en los negocios. Intentó la enseñanza para ganarse la vida, más no tuvo éxito, pues su talento armonizaba más con las investigaciones que con las clases desde la cátedra. Ya para entonces, Alberto Einstein se había casado y tenía dos hijos que sostener. Por fortuna pudo obtener un puesto de empleado en la oficina suiza de patentes. Aunque este puesto era muy tedioso en muchos aspectos, le permitió continuar sus estudios particulares para obtener el doctorado y escribir algunos ensayos científicos. En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó una primera versión de la teoría de la relatividad que habría de llamar la atención de todo el mundo científico.
En 1910 aceptó una cátedra en la Universidad Alemana de Praga. En 1912 volvió como profesor a la Academia Politécnica de Zurich donde, no hacía muchos años, no había podido aprobar el examen de admisión y se le había negado el puesto más humilde de enseñanza. En 1914 aceptó una cátedra en la Academia Prusiana de Ciencias, donde se le permitió dedicar todo su tiempo a las investigaciones y donde podía disponer del equipo necesario y la ayuda de distinguidos hombres de ciencia. Se quedó allí veinte años.
Durante la Primera Guerra Mundial, su situación fue difícil. Como en sus días de estudiante se había hecho ciudadano Suizo y era pacifista, se negó a ayudar a Alemania en su esfuerzo bélico, por lo incurrió en la enemistad de varios distinguidos alemanes. Expresó abiertamente su actitud diciendo: "Esta guerra es una depravación y un crimen salvaje. Preferiría que me descuartizaran antes que participar en cosa tan abominable". Durante la guerra, se interesó profundamente en el predicamento del pueblo judío y apoyó el movimiento para darle una patria en Palestina.
Pasaron rápidamente los años y cambió la política alemana, y en 1932, cuando Einstein visitaba los Estados Unidos, Hitler subió al poder en Alemania. Einstein no se dejó engañar por los siniestros procedimientos raciales y políticos que comprendían el uso de los científicos alemanes para conquistar el mundo. Cuando renunció a su puesto en la Universidad de Berlín, Hitler puso precio su cabeza. Entonces, Einstein aceptó un puesto de investigador en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey, diciendo : "Sólo me quedaré en un país en que predominen la libertad política, la tolerancia y la igualdad de todos los ciudadanos ante la ley. En la actualidad, no existen dichas condiciones en Alemania".
Se hizo ciudadano norteamericano en 1934. En 1939, a solicitud de varios notables hombres de ciencia, aunque seguía siendo pacifista de corazón, escribió una famosa carta el presidente Roosevelt advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica. La decisión de Roosevelt de seguir el consejo de Einstein y sus colaboradores condujo a la construcción de esta arma fantásticamente destructora. Después de la Segunda Guerra Mundial, Alberto Einstein fue un ferviente abogado de la paz del mundo mediante el desarme y el gobierno mundial.
Así, a pesar de sus grandes proezas científicas, el tímido, comprensivo y franco adolescente, Alberto Einstein, no había cambiado en la edad adulta. Aborrecía la ostentación y las riquezas materiales, aduciendo: "Estoy absolutamente convencido que ninguna riqueza del mundo puede ayudar a que progrese la humanidad...El mundo necesita paz permanente y buena voluntad perdurable".
Cuando recorrió el mundo, quedó asombrado al ver la degradación y la pobreza de las masas en muchos países. Se negó a caminar en un rickshaw, pues no estaba dispuesto a ser arrastrado por otro ser humano. Una vez, cuando lo invitaron a visitar a la reina de Bélgica, se bajó del tren y caminó hasta el palacio llevando una maleta y su violín, sin que nadie lo reconociera, mientras la limosina y el comité de recepción lo esperaban en la estación. Como la reina le preguntara por qué no había usado la limosina, respondió: "Era muy agradable caminar, majestad".
Y no debemos olvidarnos de Alberto Einstein de Princeton que charlaba informalmente con sus vecinos acerca de sus hijos, sus calificaciones en la escuela y sus enfermedades; que se sometía con paciencia y buen humor a los reporteros de los grandes periódicos y las pequeñas publicaciones estudiantiles; que vestía un viejo suéter y knickers, y fumaba pipa.

TRABAJO DE EINSTEIN EN LA TEORIA DE LA RELATIVIDAD

La inspiración para la teoría de la relatividad de Einstein fue un experimento realizado por dos hombres de ciencia norteamericanos, Michelson y Morley, quienes procuraron en vano medir el aumento de velocidad de un rayo de luz cuando viaja en la misma dirección que el movimiento de la tierra alrededor del sol, en comparación con su velocidad cuando se mueve en ángulo recto con la dirección orbital. Según su razonamiento, el rayo de luz que iba en la dirección del movimiento de la tierra se movería más rápidamente, del mismo modo que un nadador que va corriente abajo se mueve con mayor rapidez. Sin embargo, la velocidad de la luz fue la misma en ambas direcciones, y los dos hombres de ciencia creyeron que su experimento había fracasado.
Einstein tomó este estudio y razonó que no habían fracasado: la velocidad de la luz es la única magnitud que siempre se mantiene constante. Pero todo lo demás, declaró Einstein, es relativo; todo lo que está sobre la tierra y el universo se encuentra en movimiento constante; desde los diminutos electrones que forman las sustancias sólidas hasta los planetas y las estrellas mismas. Se acepta comúnmente la idea de la relatividad con respecto a los objetos que conocemos. Para un pigmeo, un hombre de un metro y medio de estatura parece muy alto; sin embargo, a ese mismo hombre se le considera de estatura demasiada reducida para jugar en un equipo profesional de basquetbol. Einstein aplicó esta idea de la relatividad a las relaciones en el mundo de la ciencia. En un cruce de ferrocarril, un hombre ve un tren que pasa a cien kilómetros por hora. Si el mismo hombre pudiera estar en la Luna y ver el tren y la tierra por el telescopio, el tren parecería estarse moviendo lentamente, debido a que sus cien kilómetros por hora son insignificantes cuando se comparan con el movimiento relativo entre la Luna y la Tierra. Para Newton, el tiempo era tan constante e invariable como una regla. Einstein demostró que el tiempo era una variable, una cuarta dimensión, que debía agregarse a las tres dimensiones comúnmente aceptadas del espacio. El tiempo depende del movimiento o la velocidad. Al acercarse uno a la velocidad de la luz, el tiempo se torna más lento. Si pudiera uno alejarse de la tierra a la velocidad de la luz, el tiempo no cambiaría nunca. Dicho más sencillamente, el tiempo varía según el lugar en que se encuentre uno. Un año en el planeta Júpiter es más largo que un año en la tierra, debido a que Júpiter necesita más tiempo para girar alrededor del sol.
La teoría de Einstein cambió inclusive el concepto de la regla como norma fija de medición.
Explicó que, para un observador, parecen acortarse dos trenes que se acercan uno al otro a gran velocidad; así pues, una regla que se mueve a gran velocidad parecería acortarse cada vez más al acercarse su velocidad a la de la luz. Otro punto importante en la teoría de la relatividad de Einstein es el de que también el peso de un cuerpo depende de la velocidad.
Cuando aumenta la velocidad de un objeto, se vuelve más pesado. Este cambio de peso no es muy grande hasta que se alcanza la velocidad de la luz.
Los diversos elementos de las teorías de Einstein fueron determinados mediante la cuidadosa lógica y complicadas fórmulas matemáticas que pertenecen al reino de las matemáticas puras; sin embargo, al mejorar los aparatos experimentales de la ciencia, se encontró que sus teorías eran asombrosamente exactas cuando se sometieron a la prueba de la experimentación práctica.
Einstein, declaró que no hay una fuerza absoluta de gravedad que atraiga los objetos, como había sostenido Newton. Por el contrario, cada masa tiene dentro de ella una fuerza que está en proporción con su masa, la cual atrae los objetos. esta fuerza de atracción de las masas es responsable también de la curvatura del universo y de las variaciones en la s órbitas de los cuerpos celestes. Con esa teoría, propuso la idea de que la distancia más corta entre dos puntos no es una línea recta, sino curva. Así, por ejemplo, los aeroplanos que vuelan de Nueva York a Londres por la línea más corta, no siguen una trayectoria recta, sino la curva de un gran círculo: la tierra.

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Formulacion y concideraciones generales

Matemáticamente, Einstein modelizó la geometría del espacio-tiempo por una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía en dicho punto.

Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura le dice a la materia como moverse, y de forma recíproca la materia le dice al espacio como curvarse. La ecuación de campo posible no es única, habiendo posibilidad de otros modelos sin contradecir la observación. La relatividad general se distingue de otras teorías de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura.

Aunque todavía no existe una teoría cuántica de la gravedad que incorpore tanto a la mecánica cuántica como a la teoría de la Relatividad General y que proponga una ecuación de campo gravitatorio que sustituya a la de Einstein, pocos físicos dudan que una teoría cuántica de la gravedad pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.